задача по математике 7 класс. Нужно обоснованное решение.(перестановка чисел)

[Принц Уэльский]

Задача: в "равенстве" 20*203=4114 переставьте цифры местами так, чтобы получилось верное равенство.
Решение я нашел случайно, методом перебора на калькуляторе. Может, если вы его найдете, то сможете выдвинуть обоснованное решение этой задачи.

[Принц Уэльский]

математики, ау!

[Ленок]

Принц Уэльский, это ж не матиматика, а скорее логика какая-то

Вот тебе и обоснованный ответ

методом перебора на калькуляторе

[tahoe]

Принц Уэльский, чето не въехал, а что надо сделать конкретно и обосновать?

[iudex]

Какую именно математическую модель перестановки цифр нужно обосновать? Левостороннюю или праворукую?

[OMEN]

Ограничение по перестановке цифр есть?

[Kidont]

20*203=4114

формально тут 362 880 вариантов (это в пределе)... (9!) дубли я не считал, т.к. двойка №1 и двойка №2, разные, но неотличимы по даваемому результату...
ИМХО, достаточно перебрать половину. А для этого подойдет комп...

Ну и далее конечно логически рассуждать, как имея набор цифр: 0 х 2, 1 х 2, 2х2, 3, 4х2... при проивзедении пар получить какое-либо значение:
Напрмер,
1 в конце числа после равентсва быть не может, т.к. единиц всего две...
2 может быть, если х1 * уу2 = zzz2 или х2 * уу1 = zzz2
3 не может быть... т.к. 3 всегод одна...
4 может бть только если: х2 * yy2 = zzz4
0 - может быть, т.к. достаточно: x0 * yy(1,2,3,4) = zzz0 или x(1,2,3,4) * yy0 = zzz0
===================
в конце либо 0, либо 2, либо 4...

[voffko]

формально тут 362 880 вариантов (это в пределе)... (9!) дубли я не считал, т.к. двойка №1 и двойка №2, разные, но неотличимы по даваемому результату...
ИМХО, достаточно перебрать половину. А для этого подойдет комп...

Ну и далее конечно логически рассуждать, как имея набор цифр: 0 х 2, 1 х 2, 2х2, 3, 4х2... при проивзедении пар получить какое-либо значение:
Напрмер,
1 в конце числа после равентсва быть не может, т.к. единиц всего две...
2 может быть, если х1 * уу2 = zzz2 или х2 * уу1 = zzz2
3 не может быть... т.к. 3 всегод одна...
4 может бть только если: х2 * yy2 = zzz4
0 - может быть, т.к. достаточно: x0 * yy(1,2,3,4) = zzz0 или x(1,2,3,4) * yy0 = zzz0
===================
в конце либо 0, либо 2, либо 4...

пошОл

[Принц Уэльский]

Короче я тут кучу бумаги исписал, основной смысл:
1. два нуля слева быть не могут, т.к. тогда слева одно из чисел должно заканчиваться на ноль, но тогда и справа от равенства число должно должно оканчиваться на 0. а у нас всего два нуля.
2. если справа один "0", то число "3", справа стоять не может( перебрал возможные варианты).
3. но число 3 не может стоять и слева, если справа есть хоть один ноль (перебрал возможные варианты).
4. Т.е остается вариант, что оба нуля стоят справа, а число три стоит слева. Причем оба нуля справа стоят в середине, иначе бы одно из чисел слева должно было оканчиваться на ноль, а нулей у нас только два.
5. Перебирая ограниченное количество вариантов слева и учитывая что справа может получиться только четырех значное, а не пятизначное число. приходим к искомому ответу:
143*14=2002
Но блин, если весь этот мой анализ расписать на бумаге, то получится листов 5-6. Может есть какое решение покороче связанное с признаками делимости, где все красиво и покороче???

[vadim_yakovlev]

Чтобы с обоснованием, ничего сильно умного в голову не приходит кроме построения дерева, но это весьма громоздко. Приведу начало.

Заменим цифры разрядов буквами:
AB*CDE=FGHJ (доступные значения - 0,0,1,1,2,2,3,4,4)

Или в виде обычного уравнения, раскрыв по разрядам:
(10*A+B)*(100*C+10*D+E)=1000*F+100*G+10*H+J (далее знак * будем опускать)

1000AC+100AD+10AE+100BC+10BD+BE=1000F+100G+10H+J (это будет уравнение (1))

Берём обе части по модулю 10:
1000AC+100AD+10AE+100BC+10BD+BE=1000F+100G+10H+J mod 10
BE=J mod 10

Как верно указал Kidont, это уравнение в доступных числах имеет следующие решения:
0X=0, X0=0, 1*2=2, 2*1=2, 2*2=4, 3*4=2 (по модулю 10!), 4*3=2 (по модулю 10)
(Kidont забыл про варианты 3*4 и 4*3 - они тоже в младшем разряде дают 2).

А теперь поехали перебирать варианты и строить дерево, ветвясь от младших разрядов к старшим.
---------------------------------------

1.) 0X=0 (B=0, J=0 подставляем в (1)).

1000AC+100AD+10AE=1000F+100G+10H (доступны 1,1,2,2,3,4,4)
100AC+10AD+AE=100F+10G+H (уравнение (2))
100AC+10AD+AE=100F+10G+H mod 10
AE=H mod 10

Имещиеся варианты решения: 1*2=2, 2*1=2, 1*4=4, 4*1=4, 2*2=4, 3*4=2, 4*3=2


1.1.) 1*2=2 (A=1, E=2, H=2 подставляем в (2)).

100C+10D+2=100F+10G+2 (доступны 1,3,4,4)
10C+D=10F+G (уравнение (3))
10C+D=10F+G mod 10
D=G mod 10

Есть 1 решение: 4=4. Подставляем в (3).
10С+4=10F+4 (доступны 1,3)
С=F - в доступных числах (1,3) уравнение решения не имеет => это тупиковая ветвь, откатываемся к 1.) и пробуем следующий вариант.

1.2.) 2*1=2 (A=2, E=1, H=2 - в (2)):

200C+20D+2=100F+10G+2 (доступны 1,3,4,4)
20C+2D=10F+G (уравнение (4))
20C+2D=10F+G mod 10
2D=G mod 10

В доступных числах решения нет. Откат к 1.)

1.3.) 1*4=4 (A=1, E=4, H=4 - в (2)):

100C+10D+4=100F+10G+4 (доступны 1,2,2,3)
10C+D=10F+G (уравнение (5))
10C+D=10F+G mod 10
D=G mod 10

Есть 1 решение: 2=2. Поставляем в (5).
10С+2=10F+2
C=F
В доступных числах (1,3) решения нет. Откат к 1.)

1.4.) 4*1=4 (A=4, E=1, H=4 - в (2)):

400C+40D+4=100F+10G+4 (доступны 1,2,2,3)
40C+4D=10F+G (уравнение (6))
40C+4D=10F+G mod 10
4D=G mod 10

Есть 1 решение: 4*3=2 (D=3, G=2). Подставляем в (6):
40C+12=10F+2 (доступны 1,2)
40C+10=10F
4C+1=F
В доступных числах решения нет. Откат к 1.)

1.5.) 2*2=4 (A=2, E=2, H=4 - в (2)):

200C+20D+4=100F+10G+4 (доступны (1,1,3,4)
20C+2D=10F+G (уравнение (7))
20C+2D=10F+G mod 10
2D=G mod 10
В доступных числах решения нет. Откат к 1.)

1.6.) 3*4=2 (A=3, E=4, H=2 - в (2)):

300C+30D+12=100F+10G+2 (доступны 1,1,2,4)
30C+3D+1=10F+G (уравнение (8))
30C+3D+1=10F+G mod 10
3D+1=G mod 10

Есть 1 решение: 3*1+1=4 (D=1, G=4), Подставляем в (8).
30С+3+1=10F+4 (доступны 1,2)
3C=F
В доступных числах решения нет. Откат к 1.)

1.7.) 4*3=2 (A=4, E=3, H=2 - в (2)):

400C+40D+12=100F+10G+2 (доступны 1,1,2,4)
40C+4D+1=10F+G (уравнение (9))
40C+4D+1=10F+G mod 10
4D+1=G mod 10
В доступных числах решения нет. Мы перебрали все подварианты 1.) и не нашли решения. Откат к началу.

2.) X0=0 (E=0, J=0 подставляем в (1)).

1000AC+100AD+100BC+10BD=1000F+100G+10H (доступны 1,1,2,2,3,4,4)
100AC+10AD+10BC+BD=100F+10G+H (уравнение (10))
100AC+10AD+10BC+BD=100F+10G+H mod 10
BD=H mod 10

Доступны решения: 1*2=2, 2*1=2, 1*4=4, 4*1=4, 2*2=4, 3*4=2, 4*3=2

Ну и дальше в том же духе. Рано или поздно найдём решение, если оно есть.

[vit]

Для таких случаев есть целый раздел в математике -целочисленное линейное программирование. но это не просто не седьмой класс - не всякий математик его изучает.... в-общем , у тедя будет сисьема из 9 уравнений и с десяток ограничений. Смысл метода в составлении матриц решений и пошаговое откидывание неверных множеств - фактически осмысленный сужаемый перебор. Такчто имхо - только логические иетоды для 7 класса.

[tahoe]

Японский Бог, куда я попал....

[Принц Уэльский]

Такчто имхо - только логические иетоды для 7 класса.

то-то и оно. решение должно быть на страничку -не более. я его и то битый час с калькулятором искал.
Вааще не понял в чем смысл этой задачи. Я таких задач сам могу кучу сочинить, меняя местами числа в правильном решении.
Для меня всегда было важным не просто наити возможное решение, а наити ВСЕ возможные решения. Или доказать единственность правильного решения.
А то в уравнении х*х=4 тоже можно указать только одно решение, но ведь это будет ошибкой!

[Genrix]

Нужно войти в рамки. Раз задача для 7го класса, то нужно смотреть учебник для 7го класса. Задачи идут по уровню же, их цель - освоить материал. Задача идет или к разделу или к курсу. От этого и плясать. Ответ в учебнике. А паритесь потому, что вы знаете больше. В этом и прикол.

[vadim_yakovlev]

целочисленное линейное программирование. но это не просто не седьмой класс - не всякий математик его изучает....

Да, я линейное программирование проходил, конечно, но не целочисленное.

[vit]

Да, я линейное программирование проходил, конечно, но не целочисленное.

ну МГУ, таки !
Заметно, что описаный тобой подход клонит в эту сторону - построение графов и ветвей решений, универсальный подход.
Целочисленность дает очень серьезные ограничения и другой метод нахождения оптимального решения (т.к. если в нецелочисленной задаче решение 2,1 , то в целочисленной оно не верно - даже метод апроксимации не прокатит, целочисленное решение из множества нецелочисленных не найти, оно может не входить даже в множество нецелочисленных решений). Данная дисциплина в-основном исползуется в логистике (склады, построение маршрутов), экономике и статистике. Подробности , к сожалению, на вскидку забыл, сходу ничего предложить не смогу

[AXel_23]

Японский Бог, куда я попал

+100500

Это математика 7 класс?

[sema005]

боже мой, до чего же я оказывается тупой...

[vadim_yakovlev]

Заметно, что описаный тобой подход клонит в эту сторону - построение графов и ветвей решений, универсальный подход.

"Я ещё и на машинке умею" (С) Кот Матроскин

[Kidont]

Японский Бог, куда я попал

Если туго входит - значит в Опу....